Den følgende tekst blev skrevet af Tom Gillesberg som supplement til LaRouches artikel "En ikke-newtonsk matematik for økonomer", der blev bragt i Schiller Instituttets Temahæfte nr. 2, november 1995.

Cantors transfinitte tal

Georg Cantor opdagede muligheden af at skabe uendelige tal. Det var dog en forudsætning, at det diffuse begreb "uendeligt" først blev tilstrækkeligt klarlagt. Ifølge Cantor anvendes begrebet "uendeligt" i tre vidt forskellige sammenhænge indenfor matematik og filosofi:

1. Det egentligt-ikke-uendelige eller potentielt-uendelige. Når udtrykket "uendeligt" bruges om noget, der egentlig er endeligt, men står uklart for tanken, fordi det er meget stort eller "uendeligt" småt. F.eks. i udtrykket: "Der er uendeligt mange sandkorn på stranden". Her bruges "uendeligt" i betydningen: Et antal så stort, at det ikke er til at overskue. Men antallet af sandkorn er faktisk endeligt, selv om det er stort.

2. Det egentligt-uendelige, faktisk-uendelige eller transfinitte. Noget som er bestemt, fatteligt, men ikke tælleligt med noget endeligt. Overskrider det endelige. Det er her, vi finder De transfinitte Tal.

3. Det absolut uendelige – Gud. Vi kan erkende eksistensen af det absolut uendelige (Gud), men vi kan ikke erkende selve det absolutte (Gud). Det absolutte kan ikke tælles eller nås med noget endeligt eller transfinit.

De naturlige tal 1,2,3,4... etc. skabes ud fra grundsætningerne: Der er et første tal "ét" og skabelsesprincippet "læg én til". Ud fra disse aksiomer kan vi skabe en uendelig række af tal: 1,2,3,4, ...,v, ... Selv om denne række er uendelig (der er ikke noget højeste tal) er den ikke ufattelig. Vi kan begribe den som én mængde eller én idé, og den idé kan vi give et navn Omega (w). w er altså 1,2,3,4, ...,v, ... taget som én idé. w er det første tal efter den uendelige række af de naturlige tal, og dermed det første overendelige tal; det første transfinitte tal (der overskrider de finitte, de endelige tal). w kan anvendes som andre tal. Vi kan lægge 1 til w og få w+1. Vi kan tage ω tusind gange og få 1000w. Vi kan skabe uendeligt mange uendeligheder af nye tal. Men disse nye transfinitte tal følger dog ikke de samme regneregler, som de finitte (endelige) tal. F. eks. gælder 1+2 = 2+1, men w+1 ≠ 1+w. 1 x 2 = 2 x 1, men w x 2 ≠ 2 x w. Vi kalder derfor de nye transfinitte tal, vi her har skabt, transfinitte ordenstal eller ordinaltal, da ordenen, rækkefølgen, ikke er ligegyldig.

Abstraherer vi derefter fra selve ordensprincippet, får vi et helt nyt begreb: Mægtighed eller Kardinaltal. Mange forskellige transfinitte ordinaltal har samme kardinaltal. w, w+1, 2w, w^w har f.eks. alle samme kardinaltal: Alef-nul (0א). Men der findes også mængder/ideer med et højere kardinaltal end 0א. Den samlede mængde af transfinitte ordinaltal, der hver for sig har kardinaltal 0א, har – når hele mængden tages som én idé – mægtigheden eller kardinaltallet 1א. Den samlede mængde af alle de mængder, der hver for sig har kardinaltallet 1א,må således – når hele mængden tages som én idé – have kardinaltallet 2א. Der er altså en hel א-serie; en uendelig række af transfinitte kardinaltal א , ... ,3א ,2א ,1א ,0אv, ...

Mængder, eller tal med forskelligt kardinaltal, er på forskellige mægtighedsniveauer. I א-serien:  א , ... ,3א ,2א ,1א ,0אv, ... repræsenterer hvert enkelt kardinaltal et unikt mægtighedsniveau. Til hvert enkelt kardinaltal hører en hel klasse af ideer, som alle er bestemt af samme sæt af aksiomer, de samme indbyggede skabelses-principper. Vil man gå fra ét mægtighedsniveau til det næste, f.eks. fra 0א til 1א, må man introducere et nyt skabelsesprincip, der ikke var indeholdt i 0א's aksiomsæt. Dette ikke-lineære gennembrud, der kun kan finde sted udenfor 0א's aksiomsæt, lægger grunden til en helt ny klasse af ideer på et højere mægtighedsniveau, 1א. Vil man fra 1א til 2א, behøver man igen et helt nyt skabelsesprincip, som ikke var indeholdt i 1א. Og dette nye gennembrud grundlægger og opbygger altså et helt nyt mægtighedsniveau. Befinder man sig på et højere mægtighedsniveau, kan man gå tilbage til et lavere ved at fjerne sin særegenhed (f.eks. (ω+1)-ω=1). Derimod er der ingen måde, hvorpå man – uden spring – kan bevæge sig gennem Alef-serien א , ... ,3א ,2א ,1א ,0אv, ... nedefra og op.  

Læs også Cantors tre skrifter: "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre", "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" og "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre".