Fra Temahæfte nr. 2, november 1995
En ikke-newtonsk matematik for økonomer
Denne artikel blev bragt i det amerikanske tidsskrift Executive Intelligence Review, EIR, den 11. august, 1995. Artiklen er en uddybning af metodeproblemerne i opstillingen af matematiske, økonomiske modeller, som LaRouche kort berørte i en tidligere artikel med titlen: ªWhy Most Nobel Prize Economists are Quacks´, der blev bragt i EIR den 28. juli, 1995.
Det snarlige sammenbrud af det IMF-dominerede globale finanssystem demonstrerer blandt andet, at de alment accepterede matematiske modeller over økonomiske processer alle er katastrofalt inkompetente. Det relevante alternativ hedder LaRouche-Riemann-metoden. Verden har dog lidt så meget under nobelpristagernes programmer, at man ikke kan forlange, at den blindt skulle acceptere en alternativ økonomisk tankegang. Derfor er det ikke tilstrækkeligt at vide, at LaRouche-Riemann-metoden virker; det er nødvendigt, at gøre det klart både hvordan og hvorfor den virker.
For at kunne udvælge en metode til at måle virkelige økonomiske processer er der to opgaver, som skal løses. Den primære opgave ligger i at definere en metode til at beskrive selve den fysisk-økonomiske proces. Denne proces er kendetegnet ved at være "ikke-entropisk"(1). Den anden - ikke uvæsentlige - opgave er at beskrive vekselvirkningen mellem den økonomiske proces og et påklistret, typisk lineært (og derfor entropisk) penge- og finansvæsen.
Den metode, der er påkrævet for at kunne beskrive den virkelige økonomi, den fysisk-økonomiske proces, er beskrevet skridt for skridt i det følgende.
LaRouches opdagelse
Opdagelsen, som LaRouche-Riemann-metoden er baseret på, blev oprindeligt udviklet i perioden 1948-52. Den havde sit udspring i en opgave med et mere snævert formål, nemlig at påvise det absurde i professor Norbert Wieners påstand om, at formidlingen af menneskeskabte begreber skulle kunne måles ved hjælp af hans statistiske "informationsteori"(2 ).Det var beslutningen om at anvende den fysiske økonomis realiteter til at imødegå Wiener, der førte til opdagelsen.
Det oprindelige argument imod Wieners antagelser var, at den menneskelige "økologi" adskiller sig fra laverestående arters økologi, på samme måde som levende processer klart adskiller sig fra det, vi almindeligvis betegner som ikke-levende processer. Dette argument var baseret på det faktum, at stigningen i menneskehedens potentielle relative befolkningstæthed,(3) blandt andet gennem teknologisk fremskridt, repræsenterer en række af distinkte faseskift, og at disse karakteristiske faseskift i samfundets udvikling adskiller menneskeheden helt og aldeles fra alle lavere arter.
Den første beskrivelse af forskellen mellem menneskeheden og de lavere arter var geometrisk. Enhver logisk sammenhængende form for matematisk kortlægning af et eksisterende teknologisk niveau kan med tilstrækkelig nøjagtighed beskrives som et deduktivt gitter af læresætninger (teoremer). Enhver gyldig opdagelse af et højerestående princip vil have den effekt på f.eks. matematisk fysik, at den kræver en tilsvarende ændring i den alment accepterede matematiske fysiks grundlæggende sæt af formelle og ontologiske grundsætninger (aksiomer). Det er den ophobede række af sådanne virkeligt fremadskridende aksiomatiske ændringer i menneskets praktiske viden, som svarer til rækken af faseskift i samfundets potentielle relative befolkningstæthedsniveau.
Ud fra denne betragtning var det underforstået, at der lå et funktions- og ordensprincip bag øgningen i den potentielle relative befolkningstæthed. Den første tese fra tiden omkring 1948-54 var kort fortalt følgende: Betragt husholdningernes og det produktive kredsløbs fysiske forbrug (inklusive serviceydelser) som analog til anvendelsen af begrebet "systemets energi" i læren om termodynamik fra folkeskolens fysiktimer. Et samfund går frem eller tilbage afhængigt af, i hvilken grad det ikke bare opfylder kravet om "systemets energi", men også i hvor høj grad det er i stand til at skabe en margen af øget produktion, som opfylder de betingelser, der svarer til "fri energi". Dermed har vi et underforstået forhold mellem "fri energi" og "systemets energi".
Yderligere en overvejelse er særdeles vigtig. Det er en forudsætning for udviklingen af et samfund, at en betydelig del af denne "frie energi" "geninvesteres" i "systemets energi". Det tjener ikke bare til at øge selve samfundets omfang; det skal også øge den relative "kapitalintensitet" og "energi-intensitet" af samfundsproduktionen målt pr. indbygger og pr. valgt enhed i et givent landområde. Der er således en eller anden minimumsværdi for forholdet mellem "fri energi" og "systemets energi", der skal fastholdes, uanset at "kapitalintensiteten" og "energi-intensiteten" i det pågældende produktionskredsløb stiger. Denne begrænsning blev (i form af et sæt uligheder) anvendt til at definere den rette brug af udtrykket "negentropi", i modsætning til Wieners brug af samme. Senere er "ikke-entropi" blevet foretrukket som et bedre udtryk til formålet.
Omkring 1949-50 antog argumentationen imod Wiener følgende form. Da det fremherskende karaktertræk hos menneskeheden er rækken af faseskift i den potentielle relative befolkningstæthed, kan det udtrykkes på følgende måde: De ideer, der kendetegner kulturers fremgangsrige tænkemåde, er ideer, som effektivt omsat i form af forandringer i handlemåde øger menneskehedens potentielle relative befolkningstæthed. Det er dette underforståede sociale indhold af enhver gyldig, grundlæggende revolutionær (aksiomrevolutionerende) opdagelse indenfor kunst og videnskab, som kendetegner menneskelig viden; ikke Wieners mekanistiske, statistiske metode.
Allerede på dette punkt i undersøgelsen var det klart, at almindelig skolematematik ikke ville være tilstrækkelig til at kortlægge denne form for "ikke-entropisk" økonomisk proces. Gyldige, grundlæggende revolutionære ideers centrale rolle lægger betydningen af økonomisk vækst i revolutionerende forandringer af selve grundsætningerne (aksiomerne). Det fremlagte matematiske problem består så i, at forandringer i selve grundsætningerne (aksiomerne) for et deduktivt gitter af læresætninger (teoremer) optræder som absolutte matematiske diskontinuiteter. Det vil sige: Der er ingen formel metode, med hvilken man deduktivt kan nå over til et nyt sæt læresætninger fra det gamle sæt. En sådan matematisk diskontinuitet har en uendelig lille udstrækning, der dog aldrig er nul. Dette antyder eksistensen af særdeles kraftfulde og overordentlig brugbare typer af matematiske funktioner, men desværre kan ingen ordinær form for matematik behandle funktioner, der udtrykkes i sådanne diskontinuiteter. Hvis herværende forfatters oprindelige opdagelse skulle kunne tages i anvendelse, måtte dette problem være det næste, der blev taget under behandling. En matematisk løsning var at foretrække, men en begrebsmæssig oversigt var absolut nødvendig.
I begyndelsen af 1952 viste det næste skridt sig derfor at være et studium af Georg Cantors behandling af denne form for diskontinuiteter.(4) Gennemgangen af Cantors arbejde med det matematisk transfinitte, i særdeleshed hans Alef-serier (se boks nederst), åbnede for en dybere forståelse af Bernhard Riemanns habilitationsforedrag fra 1854. Omvendt viste Riemanns grundlæggende opdagelse vedrørende generaliseringen af "ikke-euklide" geometrier, hvorledes vi skal opfatte Cantors funktionsbegreb for implicitte optællelige tætheder af matematiske diskontinuiteter for hvert arbitrært aktionsinterval.
Denne idé om en relativ tæthed af diskontinuiteter er den korrekte beskrivelse af den kultur, som et samfund formidler til sine unge.(5) Begrebet "tæthed" henviser til den ophobning af gyldige videnskabelige og kunstneriske opdagelser af nye principper (altså gyldige, aksiomrevolutionerende forandringer), som menneskeheden til dato har samlet, og som formidles videre i form af uddannelsesmæssige oplevelser for de unge.
Når først man har fundet ud af, at Cantors arbejde er en genoplivning af Riemanns tidligere opdagelse, er der indlysende fordele ved at foretrække Riemanns geometriske indfaldsvinkel frem for Cantors noget formalistiske metode.(6) Når produktive og lignende processer skal beskrives, er de begreber, som ligger bag udformningen af videnskabelige forsøg og de afledte ideer til værktøjsmaskiner, i bund og grund af geometrisk natur. Når man tænker på produktion og økonomi, må man tænke geometrisk, ikke algebraisk.
Herværende artikels forfatter anvendte således Riemanns arbejde til at belyse de matematiske problemer, der var fremdraget af hans egen tidligere opdagelse indenfor økonomi, og derved opstod det tilsyneladende mærkværdige, men alligevel præcist beskrivende navn "LaRouche-Riemann-metoden".(7)
Lad os undersøge de mest grundlæggende og relevante aspekter af Riemanns habilitationsforedrag.(8) Af hensyn til forståelsen vil flere af de ovenfor beskrevne punkter blive gentaget i de efterfølgende afsnit.
I slutningen af hans berømte habilitationsforedrag fra 1854 "Om Hypoteserne, som ligger til grund for Geometri" opsummerer Riemann sit argument: "Dette fører os ind på en anden videnskabs område, fysikkens område, som naturen af dagens anledning [dvs. matematik, LHL] ikke tillader, at vi betræder". (9) Udtrykt i det sprog, der anvendes på læreanstalterne i dag, har Riemanns udtalelse følgende betydning for konstruktionen af et matematisk skema, der i tilstrækkelig grad kan beskrive virkelige økonomiske processer:
Ethvert deduktivt matematisk system kan beskrives som et formelt gitter af teoremer. Et teorem i et sådant gitter er enhver sætning, der beviseligt ikke er i modstrid med et underliggende sæt af forbundne aksiomer og postulater.(10) Et passende eksempel på et teoremgitter er euklidisk geometri eller endnu bedre den konstruktive form for geometri, man forbinder med så berømte navne som Gaspard Monge, Adrien M. Legendre og Bernhard Riemanns geometrilærer Jacob Steiner.
Det fremdrager den vanskelighed, at enhver forandring i sættet af aksiomer og postulater skaber et helt nyt teoremgitter, som er alment uforeneligt med det foregående. Denne indbyrdes uforenelighed optræder i form af en matematisk diskontinuitet eller singularitet. Nærmere præciseret vil påvisningen af en sådan diskontinuitets eksistens indebære, at intet teorem i det andet teoremgitter kan nås direkte med udgangspunkt i det første, med mindre vi introducerer ideen bag den operation, der skabte den pågældende ændring i aksiomsættet.
Med andre ord må vi forlade en præeksisterende matematik og tage en afstikker over fysik som sådan, for at nå det andet af de to matematiske teoremgitre. Her er det nødvendigt - som Nicolaus Cusanus foreskrev i det af hans værker,(11) der blev grundlaget for moderne videnskab - at introducere et vigtigt nøglebegreb: "Måling", hvilket Riemann også gjorde.(12) Det følgende er herværende forfatters foretrukne illustration af det underliggende princip.
Tænk over den beregning af størrelsen på Jordens meridian, som Eratosthenes, det berømte medlem af Platons akademi i Athen, udførte i det tredie århundrede f. Kr; toogtyve århundreder før noget menneske med egne øjne så jordens krumning.(13) Der er en dobbelt pointe, som kort skal beskrives i det følgende.
Bestem ved hjælp af astronomi en nord-syd linie (en længdegradsmeridian), vælg to punkter på denne linie med en betydelig, men målelig afstand. Mål afstanden. Konstruér to identiske solure ved de to punkter. Mål den skygge urets lodrette pind kaster ved middagstid samme dag begge steder, og sammenlign de to skyggers vinkler. Forskellen på de to skyggers vinkler er en afskygning af det faktum, at jorden ikke er flad, men har en bestemt krumning (se figur 1). Ved at anvende de geometriske principper for lighed og proportioner kan størrelsen af den cirkel, som passerer gennem jordens to poler, beregnes på baggrund af den målte buelængde mellem de to punkter. Eratosthenes' beregninger var kun et par hundrede kilometer fra den korrekte størrelse af jordens polare omkreds.(14)
De to pointer som eksemplet belyser er følgende:
For det første illustrerer eksemplet det, som Platon kaldte en idé. Da denne måling blev foretaget, toogtyve århundreder før nogen overhovedet havde set Jordens krumning, var det ikke et sanseobjekt, der blev målt. Sanserne var selvfølgelig involveret, men ideen om krumning udsprang af en overbevisning om, at sanseindtrykkene var selvmodsigende. Forskellen i skyggernes vinkler i de to punkter var det empiriske udtryk for denne selvmodsigende egenskab. Det var nødvendigt at gå til begreber, der lå udenfor sanseindtrykkenes rammer, og over i den verden, som Platon karakteriserede som ideernes.(15)
For det andet førte dette, sammen med andre gamle græske opdagelser, til den moderne geodæsi, dvs. måling af afstande langs Jordens overflade med udgangspunkt i astronomiske referencepunkter, som blev udviklet af Riemanns vigtigste støtte, Carl F. Gauss.(16)
Visse læsere kunne fristes til at protestere: "Hvorfor ikke bare sige almen trigonometri? Hvorfor bruge et ord, geodæsi, som sikkert er ukendt for de fleste almindelige mennesker"? En sådan kritiker ville begå en alvorlig fejl, som faktisk er relevant for den pointe, vi er i færd med at behandle. Udtrykt i receptform lyder en passende tilbagevisning af kritikken således: Man skal altid fremføre det, man mener at vide i samme udtryksform, som man selv kom til at vide det. Vigtige antagelsesfejl opdages og rettes, når vi på sokratisk vis indser, at vi selv eller de, der oplærte os, muligvis har overset et vigtigt skøn, der enten blev foretaget eller udeladt i opbygningen af et begreb. Mere generelt udtrykt er det ved at revidere måden, med hvilken vi har formet vore begreber - altså gøre denne proces til genstand for en erkendelsesteoretisk prøvelse - at sand videnskabelig strenghed udvikles. På almindelig dansk: Sådan ved vi, hvad vi taler om.
Vi skal beskrive Eratosthenes' opdagelseshandling på en måde, der gør os i stand til at gentage den. Eratosthenes beregnede Jordens omkreds ved hjælp af astronomi. Han gjorde det med en metode, der var forbundet til Aristarchus' tidligere bevis for, at Jorden kredser omkring Solen, og med den metode med hvilken Eratosthenes selv havde beregnet afstanden mellem Månen og Jorden. Det er, hvad vi ved i denne sag, og det må aldrig formuleres på anden måde.
Brud på de metodeanvisninger, vi her har givet, er nøglen til at forstå, hvorfor Newton f.eks. falder for sin egen falske sætning et hypotheses non fingo, samt de talrige bedrag som Newton og hans tilhængere har skabt, og som senere generationer af studenter naivt har tilegnet sig. I modsætning til Newtons noget hysteriske påstand om, at han ikke formede hypoteser, så forholder det sig faktisk, sådan som Riemann påpegede, at Newton gjorde én tydelig hypotetisk antagelse, på hvilken hele hans matematiske fysik er baseret. Riemann påpegede ét aspekt af denne fejltagelse,(17) men man kan ved hjælp af den metode, som Riemann anvendte, påvise, at hele Newtons system, som det fremlægges i dagens skoleundervisning, står og falder med samme fejlagtige hypotese. Hvis Newton eller hans tilhængere havde været mere opmærksomme på den metode, med hvilken de faktisk var nået frem til de meninger, som de fremførte som deres viden, havde de sikkert ikke turdet fortsætte deres dumheder, ej heller messet deres rituelle et hypotheses non fingo.
De, der påstår at kende svaret, fordi de har smugkikket i lærebogens facitliste, eller fordi nogen har fortalt dem det, har udelukkende "lært" at svare på samme måde, som en hund har lært at adlyde ordren apport. De, der ikke bare har lært, men som ved svaret, ved det udelukkende, fordi de enten selv har gjort en original opdagelse eller skridt for skridt genoplevet en. Det vi ved - viden - er ikke resultatet af en sansebekræftelse, men snarere det, som kommer til os via en rigoristisk gennemgang af den type ideer, som ikke kan være en simpel fortolkning af øjenvidneberetninger. Metodens gennemskuelighed er punktet, hvor stort set alle, der op til i dag har kaldt sig økonomer, tydeligst og mest afgørende har fejlet, når de har forsøgt sig med den særdeles komplekse disciplin, som hedder matematiske beskrivelser af virkelige økonomiske processer.
For den kompetente økonom, som for den tænksomme fysiker, er den væsentligste illusion ved enhver form for empirisme påstanden om, at man er fri af styrende hypoteser og i lighed med den traditionelle aristotelisme, fra hvilken empirismen oprindeligt stammer, udelukkende beskæftiger sig med målingen af observerede fænomener. Dette bedrag er kendetegnet ved Newtons et hypotheses non fingo. I modsætning hertil spiller en videre udvikling af formel matematik som sådan en uundværlig rolle i frembringelsen af mere kraftfulde analyseinstrumenter til at efterprøve ethvert givent teoremgitters følgerigtighed. Vi sparer tid og kræfter i videnskab, når vi hurtigere og mere direkte er i stand til at afdække beskaffenheden af en uoverensstemmelse mellem det aksiomatiske grundlag for et teoremgitter og en (evt. empirisk) antagelse angående metoden, med hvilken vi burde måle.(18) Eratosthenes' beskrevne måling af meridianen er en simpel illustration af dette videnskabelige princip: Princippet bag videnskabelige, dvs. platoniske, ideer.
I matematik eller matematisk fysik er en sådan platonisk idé eksemplificeret ved det aksiomsæt, der ligger bag ethvert formelt system, altså det Platon og Riemann kalder en hypotese. Når vi taler om formelle systemer af teoremgitre, som f.eks. formel matematik, betyder "hypotese" det sæt aksiomatiske antagelser, der ligger til grund for alle beviselige teoremer i et bestemt teoremgitter (som f.eks. euklidisk geometri, lineær algebra, osv.).(19)
En elev med en god klassisk humanistisk form for mellemskoleuddannelse ville allerede have mestret nogle af forudsætningerne: 1) Han ville have et godt kendskab til Platons akademi i Athen og til Arkimedes, og ville kende forskellen mellem matematiske systemer, som er begrænsede til "kommensurable størrelser", og de, der indeholder såkaldte "inkommensurable størrelser". 2) Han ville have kendskab til Nicolaus Cusanus' afgørende bevis for opdelingen af de "inkommensurable" i de såkaldte "irrationale" og "transcendente". 3) I sin grundlæggende uddannelse i differential- og integralregning ville eleven have opnået en forståelse af, hvorledes Leibniz og Jean Bernoulli påviste, at Descartes' og Newtons "algebraiske" metode var inkompetent, og hvorfor "algebraiske" metoder må erstattes af "ikke-algebraiske" eller "transcendente" funktioner, når det f.eks. gælder fysikken bag lysets brydning. 4) Han ved måske tillige, at frembruddet af ideen bag Riemanns fladefunktioner og Cantors Alef-serie (se boks side 11 ) kan spores tilbage til de ideer om matematiske diskontinuiteter, der var centrale i Cusanus' matematiske arbejder og Leibniz' formulering af differentialregning; en idé om diskontinuitet som Newtons ivrige tilhænger Leonhard Euler hysterisk benægtede eksistensen af.
I hvert eneste historiske tilfælde, som f.eks. indordningen af alle størrelsesbegreber under generaliseringen "inkommensurable", undergår matematikkens grundsætninger, dens hypotese, en aksiomatisk forandring. Således kunne da også Leibniz og Bernoulli - takket være Ole Rømers afgørende måling af lysets hastighed - fastslå de transcendente funktioners virkefelt gennem det eksperimentale bevis for lysbrydningens almene natur. Det havde Nicolaus Cusanus allerede søgt efter, da han med det isoperimetriske princip(20 ) (se nedenstående boks) introducerede det aksiomatiske grundlag for transcendent matematik. Den lineære hypotese bag euklidisk rumtid (at punkter og linier er aksiomatisk selvindlysende) blev fortrængt af cykloidens princip; en rumtid i hvilken principperne for (Cusanus') isoperimetrik, mindste tid og mindste aktion, gælder i forening.(21) Riemanns fladefunktioner og Cantors Alef-serier definerer et underforstået fysisk univers, i hvilket eksistensen af ikke-entropiske (dvs. levende og erkendelsesmæssige) processer ikke bare er tilladte, men også nødvendige. Riemanns habilitationsforedrag, hans arbejde med de såkaldte riemannske flader, med plane luftbølger osv. omhandler alle denne historiske udvikling af geometriske begreber under påvirkning af de ideer, der opstår i fysikkens domæne.
For en økonom er det afgørende, at økonomiske processer kun eksisterer indenfor den sidste af de geometriformer, vi her har skitseret: De ikke-entropiske processer; menneskehedens voksende dominans over universet målt pr. indbygger, pr. familiehusholdning og pr. relevant enhed af Jordens overflade. Denne dominans betyder, at det univers, vi beskæftiger os med, i sig selv er en ikke-entropisk proces. Enhver matematik, der ikke passer til en sådan ikke-entropisk proces, er aldeles uanvendelig til økonomiske analyser.
Ligesom andre lignende opdagelser medfører Eratosthenes' nævnte opdagelse en kvalitativ forandring i den måde, hvorpå man bør behandle afstande langs Jordens overflade, og hvordan astronomiske observationer bør fortolkes. I denne betydning er nyttevirkningen af en sådan opdagelse afspejlet i de bekræftende målinger, som ideerne aksiomatisk leder os frem til. Beviset for en aksiomrevolutionerende opdagelse er ikke dens tilsyneladende formelle overensstemmelse med en eksisterende matematik, men snarere at den øger menneskehedens magt over universet.
De nævnte eksempler på forskellige matematiske forandringer illustrerer pointen. Når først den beskrevne form for bevis på en idé er opnået, må vi, som Eratosthenes' tilfælde viser, ændre geometriens grundsætninger i et sådant omfang, at vi har skabt en helt ny matematik, et nyt gitter af læresætninger. Dette skridt bringer os direkte til den opdagelse, som Riemann præsenterer i sit habilitationsforedrag.
Riemanns opdagelse
Her skal det understreges, at de to første afsnit i Riemanns habilitationsforedrag, med undertitlen "Undersøgelsesplan", repræsenterer en ytring, der med sin skarphed, styrke og målrettethed står i forreste række blandt alle videnskabelige udtalelser overhovedet.(22) Denne skarphed afspejler det faktum, at det er en af de mest grundlæggende opdagelser i hele videnskabshistorien. Den kvalitet, som gennemtrænger afhandlingen, forudsætter at værket læses og studeres med en opmærksomhed, som de færreste formodede autoriteter tilsyneladende har gjort; inklusiv Albert Einstein, der ellers priste afhandlingen.(23) Med udgangspunkt i herværende forfatters egen tese skal vi her opsummere de vigtigste punkter i Riemanns opdagelse, der har betydning for økonomi.
Hverken matematik eller nogen form for geometri er et produkt af sanserne, men derimod af forestillingsevnen. Matematik har hovedsagelig sine rødder i geometri; det, de fleste, inklusive Galileo-Newton-traditionens professionelle tilhængere, forbinder med matematik, er en simpel forestilling om euklidisk rumgeometri.
Lad os rette opmærksomheden mod et mere snævert aspekt af det almene problem, der her fremlægges: De indbyggede fejl i ethvert forsøg på at skabe matematiske økonomiske modeller på grundlag af den nuværende, newtonske, alment accepterede universitetsudgave af matematik.
Denne matematik er udledt af en bestemt opfattelse af en formodet euklidisk model over rumtid. Her er det antaget, at rummet ontologisk er et tomt rum, bestemt af tre fornemmelser af fuldstændig kontinuerlig, grænseløs udstrækning: Op-ned, side-til-side og fremad-bagud. Dette rum er placeret i en tidsopfattelse, der også er en fuldstændig kontinuerlig udstrækning, men kun med én retningsfornemmelse: Bagud-fremad. Dette kan med rette kaldes et geometribegreb, der er skabt af naiv forestilling. Disse fire fornemmelser af fuldstændig kontinuerlig, grænseløs udstrækning (fire-dimensional rumtid) udgør den bestemmende hypotese for en sådan geometri og dens gitter af læresætninger.
Hertil skal lægges en forsimplet forestilling om en fysisk rumtid, der kunne beskrives som "ting rasler rundt, hvis de lægges i en tom spand". Det antages, at et objekt svarer til en faktisk eller mulig sanseopfattelse. Ifølge den simple rumtids hypotese kan et punkt, hvis reelle rumtidsstørrelse er absolut nul, lokaliseres som en del af dette objekt og som et sted i den fire-dimensionale rumtid. Videreføres denne tankegang, kan ethvert objekt stedbestemmes, fordi det dækker det pågældende område i rumtid; denne stedbestemmelse udtrykkes som en vis tæthed af punkter, steder i rummet, der er fælles for objektet og for rumtid. Dernæst forudsættes det, at objekters bevægelse kan spores på samme måde (i fire-dimensional rumtid).
Men fysisk erfaring viser, at rumtid alene ikke er tilstrækkelig til at bestemme objekters bevægelse. Uregelmæssighederne i de bevægelser, vi faktisk oplever, antages at være forbundet til det, vi kunne kalde fysiske egenskaber så som masse, ladning, lugt osv. Til hver af disse egenskaber kan der tilskrives en forestilling om udstrækning. Det kunne få os til at tænke på fysisk rumtid som en flerfoldig udstrækning af størrelser; altså en tankemåde, der er mere generel end den intuitive forestilling om simpel rumtid. Hvis dette optages som en del af systemets hypotese, altså at bevægelsers tilsyneladende årsags- og virkningsforhold fyldestgørende kan udtrykkes ved hjælp af flere sådanne fysiske udstrækningsfaktorer, kan man beskrive mulige rumtidskonstruktioner som en antaget fysisk rumtidsmangefold.
Den empiriske, matematiske fysisk, som den blev udviklet af Paolo Sarpi og hans tilhængere, Galileo Galilei, Francis Bacon, Thomas Hobbes, René Descartes, Isaac Newton, Leonhard Euler, Lord Rayleigh, m.fl., har den naive forestillingsevnes geometri som sin almene kortlægning.(24) Denne forsimplede indfaldsvinkel til matematisk fysik er det egentlige grundlag for de mest almindelige begreber, der spiller en rolle for økonomi, både indenfor og udenfor professionen. Newtonikernes mekaniske system udgør iøvrigt en allestedsværende fejlfortolkning af selve begrebet "videnskab". Det er det mest almindelige referencepunkt for det fortærskede udtryk "objektiv videnskab".
Denne overvejelse introducerede Riemann i de to indledende paragraffer af sit habilitationsforedrag. Han angriber problemerne med naiv geometri på følgende måde:
"Som bekendt tager geometrien både rumbegrebet, samt de første grundbegreber for konstruktioner i rummet som noget på forhånd givet. Den giver dem kun nominelle definitioner, mens de afgørende bestemmelser fremtræder i form af aksiomer. Forholdet mellem disse forudsætninger forbliver i det dunkle; man indser hverken hvis og hvor langt deres forbindelse er nødvendig, eller a priori, om de er mulige. Denne dunkelhed blev heller ikke ophævet fra Euklid til Legendre, for at nævne den berømteste nyere bearbejder af geometrien, hverken af matematikere eller af de filosoffer, der har beskæftiget sig med det ... Heraf er det en nødvendig følge, at geometriens sætninger ikke lader sig aflede af almene størrelsesbegreber, men at disse egenskaber, gennem hvilke rummet adskiller sig fra andre tænkelige trefoldigt udstrakte størrelser, kun kan hentes fra erfaringen." (25)
Eller som Riemann senere formulerer det i afslutningen af samme afhandling, fra "fysikkens domæne" til forskel fra matematik som sådan.(26)
Den første matematiske udfordring, som ideen om en fysisk rumtidsmangefold udgør, er udtrykt i det faktum, at en sådan idé udelukker enhver form for statisk geometri. Siden slutningen af det forrige århundrede er det ofte blevet bemærket, at da det er et faktum, at vi ikke engang kan reducere uregelmæssighederne i bevægelserne mellem simple objekter til rene rumtidsprincipper, så må selve begreberne rum og tid helt fjernes fra matematisk fysik.(27) Da vore matematiske begreber kommer fra vor forestillingsevnes tredimensionale rum, hvordan skulle fysik så kunne gøre matematisk rede for den forvridning, som en fysisk rumtidsmangefolds fremtræden påtvinger muligheden for at beskrive bevægelser i rumtid?
Lad os kort afbryde beskrivelsen af Riemanns afhandling for at informere læseren om, at vi i de næste paragraffer ikke vil beskæftige os med alle de vigtige punkter i afhandlingen, men kun med de fleste af dem, der har direkte betydning for problemerne med "økonomiske modeller". Et af disse punkter behandles mere direkte.
I behandlingen af den første af en række følger for begrebet "en n-fold udstrakt størrelse",(28) skriver Riemann, at han kun havde fundet to eksisterende kilder i litteraturen, der havde været til nytte for ham: Gauss' anden afhandling om bikvadratiske rester(29) og en filosofisk undersøgelse af Johann Friedrich Herbart.(30 ) I det følgende underafsnits første paragraf om måleforhold,(31) slår han et vigtigt punkt fast, som vi vil rette vor opmærksomhed mod: "Derfor, for at få fast grund, er en abstrakt undersøgelse i formler ganske vist ikke til at undgå, men disse resultater lader sig alligevel fremstille i en geometrisk klædning... [G]rundlaget er indeholdt i Hr. Geheimeråd Gauss' berømte afhandling om de krumme flader".(32) Lad udtrykket "fremstille i geometrisk klædning" lyde som et ekko gennem de efterfølgende betragtninger.
Da denne artikels forfatter i 1952 genlæste Riemanns afhandling i lyset af Cantors Alef-transfinitte, var forfatterens egen daværende udgave af "måleforhold" allerede det samme måleprincip, der er indeholdt i den generelle forestilling om fysisk-økonomisk "ikke-entropi", som er blevet beskrevet her.
Lad os angive en fysisk (makro)-økonomisk proces i de almindelige termer, vi har beskrevet ovenfor. Følg med i de efterfølgende, indledende skridt, som er nødvendige for den brede definition af "måleforhold", der kan anvendes på sådanne økonomiske processer. Afsæt en lille, men vigtig del som "fri energi", f.eks. 5%. Dette forhold indeholder følgende uligheder: Den potentielle relative befolkningstæthed skal vokse; familiehusholdningernes og hele befolkningens demografiske sammensætning må forbedres; målt i fysiske termer skal kapitalintensiteten og kraftintensiteten vokse pr. indbygger, pr. husholdning og pr. enhed i det pågældende landområde; en del af den margen af "fri energi", der er nødvendig for at fastholde en fri energiandel på mindst 5%, må geninvesteres i det produktive kredsløb for at øge kapitalintensiteten og hele processens omfang. Kravet om en konstant vækstfaktor på 5% fungerer som en tommelfingerregel, der skal sikre, at væksten er tilstrækkelig til at forhindre hele processen i at skifte til en entropisk fase.
Det er disse måleforhold, der er gældende og karakteriserer succesrige nationaløkonomier. Men, hvis vi anvender sådanne måleforhold, hvad er det så for en fysisk rumtid, vi dermed beskriver? Lad os se tilbage på den tidlige del af videnskabens udviklingshistorie. Her kan vi finde nogle brugbare forslag.
Nicolaus Cusanus' "De docta ignorantia", den moderne videnskabs grundlæggende værk, introducerede ideen i form af en selvoppebærende proces, det isoperimetriske princip, som erstatning for aksiomerne bag punkter og rette linier. Forklædt som lysbrydningens cykloide blev dette isoperimetriske princip forbundet til begreberne "mindste aktion", "mindste tid" og "mindste modstand". Fra Rømers og Huyghens' arbejder, der allerede er refereret til, og videre over Jean Bernoulli og Leibniz har forestillingen om et princip for den forsinkede udbredelse af lys, bl.a. i forbindelse med det isoperimetriske princip, fungeret som en målestok eller "stopur" for den fysiske videnskabs relative værdi i al almindelighed. Med den bemærkning, lad os så definere en ikke-entropisk økonomisk proces i forhold til den målestok, som vort "stopur" har givet os.
Ved at anvende "stopuret" måler vi i en første tilnærmelse forholdene mellem samfundets produktion og forbrug som en integreret helhed. Det er blot en statistisk begyndelse og ikke den nødvendige målestandard. I den næste tilnærmelse må disse indledende beregninger udtrykkes som hastigheden med hvilken forholdene mellem produktion og forbrug forandres; det må så igen udtrykkes som stigningstakten i den potentielle relative befolkningstæthed.
Ydermere forudsætter alt dette, at vi omvurderer begrebet økonomisk ikke-entropi. Det ikke-entropiske indhold måles ikke gennem en stigning i antallet af genstande i den såkaldte markedskurv eller ved at sætte produktionen i forhold til forbruget. Værdien af en måling ved hjælp af disse markedskurve afhænger snarere af en sådan målings overensstemmelse med en øgning i den potentielle relative befolkningstæthed. Med andre ord, skal økonomisk ikke-entropi, som vi her har beskrevet med en statistisk tilnærmelse, løbe parallelt med en øgning i den potentielle relative befolkningstæthed. Det er stigningen i den potentielle relative befolkningstæthed som sådan, der er det ontologiske indhold af den ikke-entropi, der skal måles.
Afstande i en fysisk-økonomisk rumtid måles således ikke i centimeter, gram og sekunder eller andre tilsvarende enheder, men i stedet bliver den ikke-entropiske effekt udtrykt og målt i øgningen af den potentielle relative befolkningstæthed. En handlings værdi vil udtrykkes indirekte i den sidstnævnte stigning. Som vi allerede skrev i begyndelsen, så er det det underforståede sociale indhold i hver gyldig, aksiomrevolutionerende opdagelse i kunst eller videnskab, som udgør menneskelig viden, ikke Wieners mekaniske og statistiske metode. Dette sociale indhold er den effektivitet med hvilken ideerne omsættes i praksis og den udstrækning, i hvilken stigningstakten i et samfunds potentielle relative befolkningstæthed vedligeholdes og endda øges.
Tænk over den matematiske betydning af de punkter, vi har opsummeret her.
Det første skridt i konstruktionen af en fysisk-økonomisk rumtidsmangefold består i at opstille de tællelige kategorier af poster, der er anvendelige for en statistisk undersøgelse. Det næste skridt er så at anvende denne database som et middel til måling af systemets interne forhold udtrykt i den anslåede relative ikke-entropi af den samlede, løbende økonomiske proces. Det tredie skridt er at anslå og kontrollere ikke-entropiens vækstrate gennem en korrigerende sammenligning med ikke-entropiens vækstrate udtrykt i potentiel relativ befolkningstæthed. Resultaterne af dette tredie skridt må så tilbageføres som en korrektion af de måleenheder, der blev anvendt i skridt nummer to, og denne korrektion må igen tilbageføres som en korrektion i vurderingen af de statistiske kategorier, der blev anvendt i første skridt. Riemanns afhandling giver de begrebsmæssige retningslinier for en sådan flerfoldig indsats.
Ved at indføre princippet om at den fysisk-økonomiske rumtids måleforhold styres af den potentielle relative befolkningstætheds vækstrate, har vi placeret den matematiske beskrivelse af økonomiske processer indenfor ikke-euklidisk geometri, som en sådan geometri er defineret i Riemanns afhandling. Og ved at anvende passende data til hver markedskurv, har vi faktisk indbygget vor måleenhed i den grafiske afbildning, vi kan konstruere.
På Eratosthenes' tid var Jorden, ifølge iagttagerens øjne, flad, og derfor skulle den opmåles efter de principper, der dengang gjaldt for såkaldt plangeometri. Ved at påvise at fra en bestemt synsvinkel ville denne målemetode føre til en ødelæggende selvmodsigelse, skabte Eratosthenes nødvendigheden af, at plangeometriens målestok blev erstattet af det, der senere blev kendt som de geodætiske principper - målereglerne for krumme flader.
Som vi tidligere har bemærket, var det i slutningen af det 17. århundrede - så snart Ole Rømer havde fastlagt en bestemt størrelse for lysets tøvende udbredelse - at Huyghens', Leibniz' og Jean Bernoullis fælles arbejde etablerede nødvendigheden af at erstatte Sarpi-Galileis naive udgave af en fuldstændig kontinuerlig, euklidisk rumtid med en fysisk, fem-dimensional rumtid, der ifølge Leibniz ikke var fuldstændig kontinuerlig.(33) Ud over fire-dimensional rum og tid måtte den forsinkede udbredelse af lyset lægges til som en femte dimension. For at afspejle dette, måtte man tage Cusanus' begreber i anvendelse, hvorved ideen om det tredimensionale rum blev underlagt det transcendente domæne, og dermed blev det isoperimetriske princip, og ikke aksiomatiske punkter og rette linier, hypotesen bag måling. Og så fremdeles i den efterfølgende historie.
Med hjælp fra Riemanns arbejde kan vi på samme måde konstruere en afbildning af en n-foldig, fysisk rumtidsmangefold som en geometrisk skygge i det tredimensionale domæne. Sagt med den syvogtyveårige Riemanns ord(34) "er en abstrakt undersøgelse i formler ganske vist ikke til at undgå, men disse resultater lader sig alligevel fremstille i en geometrisk klædning". Den vigtigste forudsætning er, at vi aldrig glemmer, hvad vi helt nøjagtigt har gjort.(35)
For at forstå Riemanns bidrag tilstrækkeligt detaljeret i denne sammenhæng, bliver vi nødt til at vende tilbage og læse Riemann på den helt specielle måde, med hvilken herværende forfatter genlæste Riemanns afhandling tilbage i 1952. Vi bliver nødt til at fokusere på det helt specielle ved den dybere indsigt i Riemanns opdagelse, som de tidligere studier af Cantors arbejde havde givet forfatteren.
Tæthed af diskontinuiteter
Georg Cantors sene værk "Beiträge"(36) er måske nok hans vigtigste formelle matematiske indlæg, men hans vigtigste bidrag til den matematiske filosofi finder man i hans skrifter fra midten af 1880'erne, dvs. i tiden omkring udgivelsen af hans "Grundlagen"(37) i 1883, mere end et helt årti før hans "Beiträge"(38) fra 1897. Det inkluderer en række skrifter over begrebet det transfinitte og dets historiske, filosofiske og metodiske betydning. I perioden efter Grundlagen beskæftigede Cantor sig primært med de formelle matematiske aspekter af det transfinitte, dog med sporadiske referencer til det ontologiske transfinitte. (39)
Kort fortalt var der blandt Cantors historisk-filosofiske betragtninger en erkendelse af overensstemmelsen mellem hans eget begreb det transfinitte og Platons ontologiske begreb Vorden (Bliven), og mellem hans matematiske begreb det Absolutte og Platons ontologiske forestilling om det Gode. Skal dette overføres på Riemanns opdagelse, finder man de vigtigste emner behandlet i Platons dialog Parmenides. Hovedpunktet er følgende:
I Parmenides-dialogen narrer Platons Sokrates lederen af den reduktionistiske, eleatiske skole, Parmenides, til at afsløre de uundgåelige og aksiomatisk ødelæggende paradokser, der ligger i den eleatiske lære. Paradokset er både formelt og ontologisk, hovedsageligt ontologisk. I selve dialogen giver Platon kun en kort og ironisk henvisning til paradoksets løsning. Parmenides har nemlig helt udeladt princippet for forandring. Platons indirekte argument har en direkte betydning for Riemanns opdagelse, og Cantors henvisning til Platons Vorden og det Gode er tydeligvis relevant for begge. I et skrift imod Immanuel Kant med titlen "Zur Psychologie und Metaphysik", (40) som blev udgivet efter Riemanns død, leverede han selv et betydeligt fingerpeg i retning af sådanne forbindelser. Vi skal kort beskrive de vigtigste aspekter af disse fælles forbindelser.
Tænk tilbage på vor almene beskrivelse af rækken af teoremgitre og sæt den så i forbindelse med en række, der svarer til øgningen i et samfunds potentielle relative befolkningstæthed. Her står vi altså med et gitter af teoremgitre, der hver især er adskilt af en eller flere absolutte, logisk-aksiomatiske diskontinuiteter (dvs. matematiske diskontinuiteter). Så er spørgsmålet, hvad er ordensforholdet imellem de enkelte dele af et sådant gitter af teoremgitre? Betragt dette som et muligt paradoks af netop den form, som behandles i Platons Parmenides.
Nogle opdagelser kan i det virkelige liv ske enten før eller efter andre opdagelser, men der er bestemte opdagelser, der må gå forud for dem og andre igen, der kun kan følge efter. Det gælder opdagelser indenfor både de klassiske kunstarter og naturvidenskab. Med andre ord, hver gyldig, aksiomrevolutionerende opdagelse i menneskelig viden, der kan lokaliseres indenfor gitteret af teoremgitre, eksisterer kun takket være sin nødvendige forgænger, og denne opdagelse er selv en nødvendig forgænger for andre. Dette er den historiske virkelighed af det kumulative, effektive fremskridt i menneskehedens samlede viden op til i dag. Som det allerede er beskrevet, er det denne funktion, der fastlægger årsagen til de på hinanden følgende stigninger i menneskehedens potentielle relative befolkningstæthed. Så er spørgsmålet: Hvilket ordensprincip kunne indeholde alle tænkelige led i et sådant gitter af teoremgitre?
På et relativt simpelt niveau er løsningen på den type paradokser, som fremlægges i Parmenides, ganske forudsigelig, hvis rækken af led, der skal undersøges, er af en bestemt karakter. Hvis rækken af led kan udtrykkes som en ordnet serie, eller et ordnet gitter, kan alle ledene, eller i det mindste nogle af dem, udtrykkes med et konstant ordensprincip, et konstant forskelsbegreb (forandring) mellem ledene. I dette tilfælde kan selve forskelsbegrebet (forandring) træde i stedet for begrebet for hvert enkelt led i mængden. Som det udtrykkes i Platons dialog, kan en Mangfoldighed hermed repræsenteres af en Enhed.
Cantors primære arbejde er centreret omkring opgaven med at lade en Mangfoldighed, der består af matematiske, uendelige serier, beskrives af en Enhed. Ved at behandle det matematiske begreb kardinalitet i denne sammenhæng, ledes man til ideen om de højere transfinitte tal, Alef'erne, og til en generalisering af tællebegrebet med hensyn til kardinalitet. Det sidste svarer tydeligvis til den idé om tætheden af formelle diskontinuiteter, som repræsenteres af en sammenstillet ophobning af gyldige, aksiomrevolutionerende opdagelser. Så kommer spørgsmålet: Hvordan kan denne Mangfoldighed blive repræsenteret af en konstruérbar eller på anden vis erkendelig Enhed?
Det begreb, der knytter sig til løsningen på denne udfordring, findes allerede i Platons værker. Det er begrebet om den højere hypotese. Men for at anvende et udtryk fra Riemanns afhandling, så kan løsningens undfangelse, altså den faktiske viden om dette begreb, den højere hypotese, som en ontologisk virkelighed, kun "hentes fra erfaring".
Tænk igen på studenten, der har fået en klassisk-humanistisk uddannelse, i hvilken en genoplevelse af originale, aksiomrevolutionerende opdagelsers tilblivelse er den eneste accepterede målestok for viden. Denne student har en gentagen erfaring i at anvende det opdagelsesprincip, der fører til gyldige, aksiomrevolutionerende opdagelser. Denne gentagne erfaring, denne genskabte åndelige opdagelseshandling, er blevet til en genstand, - en idé - som kan nås gennem bevidst eftertanke, et tankeobjekt. Ligesom ethvert andet tankeobjekt, kan denne sindstilstand huskes og anvendes viljemæssigt. Hvad skal vi kalde denne egenskab - denne type (41) af tankeobjekt?
På samme måde som Platon kalder et sæt af gyldige, indbyrdes afhængige aksiomer for en hypotese, så benævner han den type af tankeobjekter, som vi lige har beskrevet, med højere hypotese. Måden hvorpå gyldige, aksiomrevolutionerende hypoteser ændres, kan også forbedres. Det betegner muligheden af en serie af overgange til stadig højere (mere magtfuldt effektive) udgaver af højere hypoteser, en tankevirksomhed, som i Platons metode kaldes at opstille en hypotese over den højere hypotese. Det sidste er i overensstemmelse med Cantors almene begreb om det transfinitte; med andre ord, Platons ontologiske tilstand af Vorden. (42).
I "Zur Psychologie und Metaphysik" betegner Riemann både "hypotese" og "højere hypotese" som tilhørende en art, han kalder "Geistesmassen" . Dette udtryk svarer til Leibniz' brug af ordet "monade" og til undertegnedes foretrukne udtryk "tankeobjekt", dvs. ideer, der svarer til den type af formelle diskontinuiteter, som er blevet behandlet her. Enhver person, som gentagne gange har genoplevet gyldige, aksiomrevolutionære opdagelser i den beskrevne klassisk-humanistiske tradition, er bekendt med sådanne ideers eksistens.
Med det sagt, lad os vende tilbage til Platons Parmenides. Lad os antage, at det forandringsprincip, den Enhed, der ordner skabelsen af elementer i samlingen, Mangfoldigheden, er i form af en højere hypotese. Det vil være tilfældet, hvis hvert element i samlingen, Mangfoldigheden, repræsenterer en gyldig, aksiomrevolutionær opdagelse. I modsætning til påstanden i Kants tre Kritikker (43 )kan principperne bag gyldige, aksiom-revolutionære opdagelser erkendes. Det kan de med det udgangspunkt, vi her har beskrevet.
Ydermere og i modsætning til Kants berygtede "Kritik af Dømmekraften", styrer de samme principper også klassiske former for skabende kreativitet. Det er historien bag den tidlige udvikling af motivføring i musik. Mozarts musik (1782-86) er et eksempel på denne form for kreative opdagelser, og det samme er Beethovens sene strygekvartetter.(44) Johannes Brahms var en mester i denne form for sammenhængende musisk kreativitet.
Disse korte, opsummerende bemærkninger tjener til at vise tilgængeligheden af et forståeligt ordensbegreb for et gitter af teoremgitre. I forhold til den økonomiteoretiske betydning af Riemanns afhandling kan man yderligere sige, at begrebet ikke alene er erkendeligt i sig selv. Det er et fysisk, ydedygtigt begreb, der i den betydning er ontologisk. Det er også ontologisk i den betydning, som Herakleitos og Platon tidligere har tillagt det. Spørgsmålet er mindst lige så gammelt som de to grækere.
Har man først taget det ontologiske aspekt af Platons Parmenides i betragtning, er der et spørgsmål, som automatisk melder sig. Den overordnede Enhed er et fuldendt udtryk for det domæne, som er repræsenteret af den underordnede Mangfoldighed. Betyder Mangfoldighedens indre, ontologisk relative ufuldkommenhed så, at det ontologisk virkelige hviler i Enheden fremfor i de enkelte fænomener eller de enkelte ideer i Mangfoldigheden? I forhold til det særegne hos hver enkelt i Mangfoldigheden indeholder Enheden altid forandring. Betyder det så, at forandring er ontologisk primær i forhold til indholdet af hver og en i Mangfoldigheden? Kan man, med andre ord, anvende den ontologiske betydning af Herakleitos' "intet udover forandring er konstant"?
Dette er betydningen af udtrykket "ontologisk transfinit", når man anvender det på formelle eller geometriske transfinitte systemer, som de præsenteres i henholdsvis Cantors og Riemanns afhandlinger.
Sæt samme påstand i sammenhæng med fysisk-økonomiske processer.
Lad udtrykket "gitter af teoremgitre" angive en opstilling af teoremgitre, der er skabt gennem et konstant princip for aksiomrevolutionerende opdagelse, dvs. en højere hypotese. Denne højere hypotese er så den Enhed, som indordner Mangfoldigheden af teoremgitre. I forhold til hver eneste af disse teoremgitre er denne højere hypotese tilsyneladende den effektive årsag til den ikke-entropi, der skabes ved handling. Det er denne højere hypotese, som er (igen tilsyneladende) den relativt primære, effektive årsag til ikke-entropi. Det er denne højere hypotese, som relativt primært, ontologisk er til.
Leonhard Euler og senere Felix Klein (45 ) nægtede at tage i betragtning, at overensstemmelse - selv meget høj grad af overensstemmelse - ikke nødvendigvis er det samme som årsag. Årsagen er ikke den formelle ikke-entropi af et sådant gitter af teoremgitre; årsagen udtrykkes i hver enkelt persons helt suveræne, kreative åndsevner; det perfektible potentiale til at skabe, modtage, gentage og effektivt udføre aksiomrevolutionerende opdagelser indenfor klassisk kunst og videnskab. Dette årsagsbegreb, der stammer fra "erfaring", er det centrale punkt i bestemmelsen af en riemannsk, fysisk-økonomisk rumtid.
Menneskehedens evne til at skabe vellykkede, fremadskridende faseskift i den potentielle relative befolkningstæthed viser, at universet må være opbygget på en måde, så det enkelte menneskes potentielle, perfektible skaberånd er i stand til at beherske universet stadigt mere effektivt. I den forbindelse er enhver snak om "videnskabelig objektivitet" det rene svindel, især hvis det fremføres som et empirisk eller "materialistisk" begreb. Al viden er i sin grund subjektiv; alle beviser er i den sidste ende hovedsageligt subjektive. Vor kilde til viden udspringer af en kritisk vurdering af de processer i den individuelle ånd, som skaber gyldige, aksiomrevolutionerende opdagelser, eller genskaber deres oprindelige frembringelse. Det er gennem en kritisk selvprøvelse af den enkeltes åndsvirksomhed - der hvor disse opdagelser skabes eller genskabes - at sand videnskabelig viden opnås. Derfor burde det kaldes "videnskabelig subjektivitet".
Det er værd at bemærke, at gyldige, aksiomrevolutionerende opdagelser ikke kan videreformidles direkte. De kan kun frembringes i en anden persons hoved ved at få vedkommende til at genskabe processen bag den oprindelige opdagelseshandling. Man kan i al evighed lede efter et meddelelsesmiddel, og alligevel aldrig finde det mindste spor af den oprindelige formidling af en sådan idé i nogen person. Det eneste, der videreformidles, er den katalysator, der kan få tilhøreren til at aktivere en passende åndsvirksomhed indenfor hans eller hendes helt suveræne, kreative åndsevner. For en "informationsteoretiker" kunne det her ligne verdens bedste hemmelige kode. I virkeligheden betyder det, at man ved hjælp af en klassisk-humanistisk uddannelse kan overføre langt flere "informationer", end "båndbredden" egentlig tillader.
Derfor gælder følgende:
1) Årsagen til en sund fysisk økonomis ikke-entropiske karakter ligger i udfoldelsen af det enkelte menneskes perfektible, suveræne og skabende åndspotentiale. Det er bidrag til dette potentiale, som skaber en ydelse i form af effektiv ikke-entropi.
2) Det afgørende sociale element i denne proces består i det tilsvarende potentiale hos den enkelte for at blive stimuleret til at genskabe den pågældende opdagelseshandling.
3) Den menneskelige forudsætning finder man i den enkeltes udvikling, og dennes muligheder i samfundet for at skabe og genskabe sådanne ideer.
4) En effektiv iværksættelse af denne sociale proces afhænger af, om den menneskeforandrede natur er tilstrækkelig tilpasset til, at disse ideer kan overføres til naturen på en vellykket (ikke-entropisk) måde.
Dette er grundsætningerne, der styrer den årsagssammenhæng, der er afgørende for fysisk-økonomiske processers geometri. Disse aksiomer og deres betydning skaber et ikke-entropisk billede af en underforstået kardinalfunktion, der er udtrykt som en tæthed af singulariteter pr. valgt interval af gældende aktion. Derfor må det sæt af forudsætninger (altså uligheder), som styrer de ønskede forandringer i produktions- og forbrugsforholdene, være i overensstemmelse med en sådan forestilling om en ikke-entropisk kardinalfunktion. Det betyder så, at sættet af uligheder må være ikke-entropisk i dets virkning.
Som det blev sagt i begyndelsen: En matematisk løsning (formelt set) var at foretrække, men en begrebsmæssig oversigt var absolut nødvendig. Det vigtigste er at vide, hvad man skal gøre. Frem for alt må vi lade disse overvejelser lede os, når vi skal formulere en uddannelses- og kulturpolitik, der har til hensigt at fremelske og understøtte en udvikling af den enkeltes, især de unges, åndsskabende potentiale.
Efterskrift: Vekselvirkningsprincippet
Dette drejer sig om vekselvirkningen mellem to, aksiomatisk uforenelige systemer: Den karakteristisk entropiske, lineære monetære-finansielle proces og den karakteristisk ikke-entropiske fysisk-økonomiske proces.
Der er tre typiske tilstande, der skal tages under overvejelse: 1) De to processer - den monetære-finansielle parasit og den fysisk-økonomiske proces - er "symbiotisk" sammenvokset med parasitten som den dominerende, men under sådanne begrænsninger, at den økonomiske proces ikke undergår et faseskift over i en entropisk virkeform. 2) De to processer er forbundet på samme måde, men den dominerende monetære-finansielle proces afkobler sig gradvist fra den økonomiske proces. 3) Regeringen anvender den fysisk-økonomiske proces til at regulere den monetære og finansielle proces i en sådan grad, at den bliver en underordnet institution i forhold til den fysisk-økonomiske proces.
Den første tilstand er det, man kunne kalde industriøkonomiernes "almindelige" symbiose gennem adskillige århundreder før 1963. Den anden er groft sagt den nuværende tilstand af de globale økonomiske og monetære-finansielle systemer. Det tredie må være det foretrukne arrangement, som det stort set blev opstillet af den amerikanske føderale republiks regering under George Washington. Denne såkaldte "model" kunne kaldes Franklin-Hamilton-Carey-List's Amerikanske Nationaløkonomiske System.(46)
Det afgørende spørgsmål ved vekselvirkningen er den rolle, som den suveræne nations form for nationaløkonomi spiller. "Erfaringen" i Riemanns betydning af Erfahrung, lærer os, at den foretrukne tredie form for vekselvirkning forudsætter, at en suveræn nations regering spiller en stærk rolle i økonomien. På mange måder giver USA's historiske erfaring os de nødvendige retningslinier for, hvad disse regeringsfunktioner burde være.
Den nationale regering må bevare det suveræne ansvar for reguleringen af valutaforhold, nationale kreditter, penge- og finansforhold i al almindelighed samt handelsforhold. På forskellige nationale, regionale(47) og lokale niveauer må regeringen tage ansvaret for at tilvejebringe den grundlæggende økonomiske infrastruktur, herunder tiltag til at sikre en tilstrækkelig høj kvalitet af den almene uddannelse, sundhedssystemet og fremmelsen af videnskabelig og teknologisk udvikling.(48)
Det er ønskværdigt, at hovedparten af den øvrige økonomiske aktivitet sker gennem privatejede jordbrug og andre virksomheder. De økonomiske principper bag alt dette var kendt så tidligt som i Ludvig den XI's Frankrig i det 15. århundrede og - mere alment - i de vesteuropæiske nationalstater. Udstedelsen af regeringspatenter til opfindere og deres forretningspartnere, med oprettelse af midlertidige fremstillings- og forhandlingsmonopoler, er et eksempel på oprindelsen til den moderne form for privat virksomhed. Det var kimen til opfindernes nuværende tidsbegrænsede patenter. Den private ejendomsrets sociale funktion består i at fremme den enkelte entreprenørs personlige skabende evner, intellektuelle klogskab og mod, med det formål at fremelske og effektivt udnytte nye forbedringer i teori og praksis til landets og menneskehedens fordel.
Ansvarsfordelingen mellem staten og den private entreprenør bestemmes stort set af hvilken del af de tilknyttede sociale hensyn, som hver af parterne enten påtager eller fralægger sig. Udviklingen af grundlæggende økonomisk infrastruktur forudsætter, at der tages et ansvar for hele det landområde, som svarer til en politisk enhed, en hel befolkning og for de ting, som kun en stat i tilstrækkelig grad kan påtage sig det direkte, praktiske ansvar for. Indenfor rammerne af regeringens fordelings- og reguleringsansvar bør den private entreprenør så tilskrives en meget høj - omend begrænset - autoritet.
Dette er ikke, hvad nogle vildledte ideologer kalder "blandingsøkonomi"; det er den eneste fornuftige opbygning af en moderne økonomi.
Nationale økonomiers mest effektive præstationer er blevet opnået gennem det, der under præsident Charles de Gaulle blev kaldt "indikativ planlægning". Staten anvender både sit reguleringsmonopol og sin økonomiske størrelse til at fremme investeringer i de projekter og andre særlige tiltag, som vil skabe den relativt højeste og mest velbalancerede vækst i økonomien som helhed. Et typisk eksempel på en strategisk anvendelse af de fokuserede, offentlige kreditter til at fremme den relativt højeste, langsigtede vækst og udvikling i økonomien som helhed, er udstedelsen af nationale kreditter til gavnlige og nødvendige offentlige arbejder og storstilede videnskabs-fremmende programmer, som f.eks. et rumprogram.
Det primære instrument, gennem hvilket en regering kan fremme de optimale vækstrater i økonomiens samlede indkomst, produktion og skattegrundlag, er det monopol på udstedelsen af offentlige kreditter, som den amerikanske grundlovs artikel I fastlægger. Disse offentlige kreditter kan fokuseres til at sikre fuld beskæftigelse inden for den type af offentlige og private virksomheder, der er mest gavnlig for en fortsat teknologisk udvikling.
Tommelfingerreglen i den fysiske økonomi er, at staten skal fremme relativt høje vækstrater i kapitalintensitet, krafttæthed og videnskabelig og teknologisk udvikling. Dette opnås hovedsageligt ved at anvende skattefordele og lavt forrentede offentlige kreditter til at favorisere en tilbageførelse af den økonomiske produktions "frie energi" til teknologiudviklende former for produktive investeringer.
Kort fortalt, er problemet med vekselvirkningen mellem de to aksiomatisk adskilte typer af processer næsten udelukkende et spørgsmål om, at suveræne nationers regeringer påtager sig et ansvar for at regulere penge- og finansforholdene. Formålet med en sådan regulering må være at skabe og fastholde den tredie type af de mulige vekselvirkninger, vi her har beskrevet.
Oversættelse: Poul E. Rasmussen, redaktør Agro-Nyt
Fodnoter:
1. Om artikelforfatterens anvendelse af begrebet "ikke-entropi". Det har i mere end ét århundrede været alment accepteret skolelærdom, at alle uorganiske processer har en tendens til at gå i stå; dette argument blev i midten af forrige århundrede fremsat af Englands Lord Kelvin. På hans foranledning blev doktrinen udarbejdet i matematisk form af to tyske akademikere, Rudolf Clausius og Hermann Grassman. De anvendte deres egen kinematiske model for varmeudveksling i et specielt imaginært, begrænset gassystem, som en mulig forklaring på den franske videnskabsmand Sadi Carnots kalorieteori for varme. I en sådan mekanisk model over et termodynamisk system definerede Kelvin og hans medarbejdere det udførte arbejdes "friktionstab" som "entropi". Det blev til Kelvins "Termodynamikkens 2. hovedsætning". I løbet af 1940'erne anvendte prof. Norbert Wiener fra Massachusetts Institute of Technology begrebet "negativ entropi" (forkortet til det nydannede ord "negentropi") til at betegne den statistiske form for "omvendt entropi"; i betydning af Boltzmans såkaldte H-læresætning, den berømte rekonstruktion af Ludwig Boltz-manns Clausius-Grassman-model. Wieners argument blev grundlaget for det, der blev kendt som "informationsteori". I dennne forbindelse påstod Wiener, at H-læresætningen tilvejebragte et statistisk middel til målingen af "informationsindholdet" ikke bare i kodede elektroniske transmissioner, men også i menneskets viderebringelse af ideer. Tidligere havde "negativ entropi" betegnet levende processers angivelige brud på Kelvins såkaldte 2. hovedsætning, i modsætning til den tilsyneladende entropiske karakter af almindelige ikke-levende fænomener. Siden 1948 har denne artikels forfatter insisteret på, at kun denne oprindelige betydning af "negentropi", som udtryk for det almindelige karakteristiske kendetegn ved levende processer, bør være accepteret anvendelse af ordet. Af praktiske grunde har forfatteren for nyligt erstattet ordet med begrebet "ikke-entropi".
2. Norbert Wiener, Cybernetics (New York: John Wiley & Sons, 1948). Indtil 1948 havde denne artikels forfatter hovedsageligt haft to forudsætninger for sin kompetence til at angribe Wieners tese. Han havde i slutningen af 1930'erne, allerede dengang en varm tilhænger af Gottfried Leibniz, været dybt involveret i at bevise det absurde i de argumenter imod Leibniz, man kunne finde i Immanuel Kants Kritik af den Rene Fornuft. I 1948 opdagede han, at de afgørende fejlslutninger i Wieners "statistiske informationsteori" var en grov gentagelse af det centrale argument i spørgsmålet om kundskab i Kants tre berømte Kritikker. For det andet havde denne artikels forfatter i 1946-47 været optaget af sit eget noget kritiske syn på anvendelsen af begrebet "negativ entropi" i biologi, f.eks. hos LeComte du Nouy.
3. Lyndon H. LaRouche Jr., So, You Wish to Learn All About Economics? (New York: New Benjamin Franklin House, 1984). "Relativ" i "potentiel relativ befolkningstæthed" betegner simpelthen den kvalitative forskel på et opholdsted, der er udviklet af mennesker, og et som er udtømt af mennesker.
4. Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre; Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Ernst Zermelo ed. (1932) (Berlin: Verlag von Julius Springer, 1990), s. 282-356. Den engelske standardoversættelse af dette værk, af den fransk-engelske kritiker af Cantor, Philip E.B. Jourdain, er udgivet som: Georg Cantor, Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers (New York: Dover Publications, Inc., 1955). Forlæggerens kommentar i den seneste udgave antyder fejlagtigt, at Dovers første udgave kom i 1956. Denne artikelforfatters originale kopi af Dovers genoptrykning af Jourdains oversættelse blev anskaffet i en boghandel i Minneapolis, Minnesota, i 1952. Varsomhed tilrådes ved læsning af Jourdains forord og lange introduktion til denne oversættelse; oversætteren var i virkeligheden ikke helt den trofaste medarbejder hos Cantor, som han udgiver sig for at have været.
5. Eller, man kunne sige relativ kardinalitet eller mægtighed.
6. Som et resultat af Newton-tilhængeren Frederik II af Prøjsens kontrol over Berlins Videnskabelige Akademi, og de newtonske Laplace og Cauchys efterfølgende overtagelse af Frankrigs Ecole Polytechnique i tiden efter 1814, var der en tilbøjelighed til at erstatte Platons, Cusas, Leonardo da Vincis, Keplers og Leibniz' geometriske metode med et system af algebraiske, uendelige rækker. Det vigtigste var Leonhard Eulers angreb på Leibniz i spørgsmålet om uendelige algebraiske rækker, altså Eulers benægtelse af eksistensen af absolutte matematiske diskontinuiteter. Newton-tilhængernes politiske succes i det 19. århundrede med at opstille Eulers uendelige rækker for naturlige logaritmer som et matematisk standardbevis, førte til positivismen i Russell-Whiteheads Principia Mathematica, og den dermed forbundne rabi-ate ekstremisme i nutidens "kaosteori". Karl Weierstrass og hans tidligere elev, Georg Cantor, angreb således det samme generelle matematiske problem som Riemann, nemlig eksistensen af diskontinuiteter. Men medens de udfordrede den newtonske modstander på hans egen bane, de uendelige rækker, angreb Riemann problemet fra et geometrisk standpunkt; heraf Riemanns større succes, navnlig indenfor fysik.
7. Skønt artiklens forfatter på en række universitetsfore-læsninger i perioden 1966-73 konsekvent omtalte sin gæld til Riemann, blev udtrykket "LaRouche-Riemann-metoden" først taget i anvendelse i november 1978. Betegnelsen blev da brugt i forbindelse med et økonomisk prognoseprojekt udarbejdet af det amerikanske ugeskrift Executive Intelligence Review i samarbejde med Fusion Energy Foundation. Baggrunden var det faktum, at isentropisk kompression i termonukleær fusion, som Riemann allerede i 1859 havde beskrevet matematisk i Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite, har matematiske ligheder med udbredelsen af de "chokbølge"-lignende faseskift, som teknologiske revolutioner frembringer (Se Riemann, Werke, s. 157-175). Som et biprodukt af dette yderst vellykkede prognoseprojekt, udarbejdede samme arbejdsgruppe en oversættelse af Riemans afhandling; den blev trykt i The International Journal of Fusion Energy, vol. 2, nr.3, 1980, s. 1-23, under titlen: "On the Propagation of Plane Airwaves of Finite Amplitude". Denne fremhævelse af Riemanns "chokbølge"-afhandling afspejlede dengang en løbende, men venlig uenighed mellem artikelforfatterens organisation og Lawrence Livermore Laboratories med hensyn til matematikken bag termonukleær antændelse og inertial indeslutning. Denne konflikt afspejlede især det amerikanske luftvåbens anglofile, videnskabelige rådgiver Theodore von Karmans indflydelse, gennem dennes promovering af Lord Rayleighs dybe inkompetence i stedet for Riemanns metode. Om de vellykkede økonomiske prognoser i EIR Quarterly Economic Reports, 1979-83, se David P. Goldman, "Volcker Caught in Mammoth Fraud", EIR, nov.1, 1983.
8. Bernhard Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geo-metrie zu Grunde liegen, Bernhard Riemanns gesammelte mathematische werke (herefter omtalt som "Riemann, Werke"), Heinrich Weber, ed. (New York: Dover Publications Inc. (genoptryk), 1953), s. 272-287. De, som er interesset i afhandlingens formelle matematiske implikationer, henvises til den senere beskrivelse heraf i Paris, 1858: Commenetatio mathematica, qua respondere tenatur questionii ab IIIma Academia Parisiensi propositae, Werke, s. 391-404 (på latin), med vedlagte notater af Weber: s. 405-423 (på tysk).
9. "Es führt dies hinüber in das Gebiet einer andern Wissenschaft, in das Gebiet der Physik, welches wohl die Natur der heutigen Veranlassung nicht zu betreten erlaubt". Samme kilde, s. 286.
10. Platons udtryk for det sæt af aksiomer og postulater, der ligger til grund for et teoremgitter er "hypotese".
11. De docta ignorantia (1440), forskellige steder.
12. Riemann, (note 8), "II. Maßverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen fähig ist ...", s. 276-283.
13. Se Greek Mathematical Works, oversat af Ivor Thomas, vol. II (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1980), s. 266-273. Lyndon H. LaRouche Jr., "What Is God, That Man Is In His Image"? Fidelio, Spring 1995, s. 28-29.
14. Samme kilde.
15. Inddel videnskabens domæne i tre hovedfelter, der ad-skilles af begrænsningerne i menneskets sansning og opfattelsesevne. Lad det, som vort sanseapparat kan identificere som et fænomen, betegne det makrofysiske domæne. Det, som er utilgængeligt i stor målestok (f.eks. at se den direkte afstand mellem jorden og månen), tilhører det astrofysiske domæne. Fænomener, der foregår i en målestok, der er for lille til direkte at kunne skelnes af vore sanser, tilhører det mikrofysiske domæne. De mest elementære fysiske ideer indenfor astrofysik og mikrofysik tilhører således udelukkende de platoniske ideers domæne. Den studerendes træning i metodestrenghed via en gennemlevelse af Arkimedes' opdagelser og de opdagelser, der blev gjort på Platons Akademi i Athen fra det 3.til 4. århundrede f.Kr., er en forudsætning for at opøve den studerendes dømmekraft, der gør ham i stand til at beskæftige sig med de astrofysiske og mikrofysiske domæner. Endnu mere grundlæggende er dog videnskabens "fjerde afdeling", som henlægges til senere diskussioner i klasseværelset, nemlig årsagssammenhæng. Vore sanser kan aldrig vise os årsagen til de begivenheder, som vores sanse-evne endda med rimelighed kunne identificere. Erkendelse af årsag eksisterer kun i de platoniske ideers domæne.
16. Se C.F.Gauss: Werke, vol. IX (New York: Georg Olms Verlag, 1981), forskellige steder.
17. Riemann, Werke, s. 525.
18. En sådan uoverensstemmelse beviser hverken at læresætningen eller matematikken er fejlagtig. Den tvinger os til at begribeliggøre ideen om en sådan uoverensstemmelses eksistens.
19. Kort fortalt, hvis nogen anvender betegnelsen "hypotese" som et synonym for en "gættet" eller intuitiv løsning på f.eks. en gåde, afslører man sin uvidenhed om videnskab. Den form for uvidenhed identificerer imidlertid ikke præcist den måde, hvorpå Isaac Newton misbruger samme betegnelse; Newtons argument er det samme som de radikale filosofiske empirikeres i tradition med Sarpi, Galileo, Hobbes, Descartes m.fl. Newton hævder, at han udelukkende stoler på det, sanserne kan bekræfte. Newton insisterer på - hvor forkert det end er - at der ikke er andet end "naturlige ingredienser" i form af sansefænomener i hans system.
20. Se fodnote 11. Cusa omarbejdede Arkimedes' læresætninger om cirkelens kvadratur og fremlagde en bedre fremgangsmåde til at fastsætte pi. Denne opdagelse blev indarbejdet i De docta Ignorantia (1440), men blev formelt belyst i hans "On the Quadrature of the Circle" (1450), oversat til engelsk af W. Wertz, Fidelio, Spring 1994, s. 56-63. Den nye hypotese, som Cusa udvikler på grundlag af sit bevis på, at p er transcendent, er kendt som det isoperimetriske princip. Euklids aksiomer, at punkter og rette linjer er selvindlysende, forkastes, og erstattes med det isoperimetriske princip, der behandler eksistensen af cirkulær aktion som primær (dvs. "selvindlysende").
21. Se "John og Jacob Bernoulli, The Brachystochrone", A Source Book in Mathematics 1200-1800, D.J. Struik, ed. (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1986), s. 391-399.
22. "Plan der Untersuchung", Riemann, Werke, s. 272-273.
23. Einstein viste sig gentagne gange at være en moralsk og yderst dygtig videnskabsmand, selv om han i en ung alder var under påvirkning af Ernst Machs positivisme. Det er hans anerkendelse af sin gæld til Bernard Riemanns doktorafhandling og til Johannes Kepler, samt hans senere samarbejde med Kurt Gödel typiske eksempler på. Der går en rød tråd gennem eksemplerne på hans videnskabelige moral. Det illustreres bedst af Einsteins udtrykte afsky for den falske fysik, der blev godkendt på Solvay-konferencerne i 1920'erne: "Gud spiller ikke med terninger". Denne moral var koncentreret om en vedvarende fastholdelse af et videnskabsprincip, som også Platon, Nicolaus Cusanus, Kepler, Leibniz, Gauss og Riemann havde fastholdt, i hvilket universet styres af et virkende fornuftsprincip. Desværre vakler han, f.eks. i hans ellers så kompetente forsvar for Max Planck mod Mach's indædte positivistiske tilhængere, på det punkt hvor der var behov for en gennemgående afvisning af empirismens grundlæggende antagelser.
24. Se diskussionen om Sarpi og hans tilhængere, forskellige steder i "Why Most Nobel Prize Economists Are Quacks", Lyndon H. LaRouche Jr., EIR Aug. 4, 1995.
25. Riemann, Werke, s. 272-273: "Bekanntlich setzt die Geometrie sowohl den Begriff des Raumes, als die ersten Grundbegriffe für die Constructionen im Raume als etwas Gegebenes voraus. Sie giebt von ihnen nur Nominaldefinitionen, während die wesentlichen Bestimmungen in Form von Axiomen auftreten. Das Verhältniss dieser Voraussetzungen bleibt dabei im Dunkeln; man sieht weder ein, ob und wie weit ihre Verbindung nothwendig, noch a priori, ob sie möglich ist. Diese Dunkelheit wurde auch von Euklid bis Legendre, um den berühmtesten neueren Bearbeiter der Geometrie zu nennen, weder von Mathematikern, noch von den Philosophen, welche sich damit beschäftigten, gehoben... Hiervon aber ist eine notwendige Folge, dass die Sätze der Geometrie sich nicht aus allgemeinen Größenbegriffen ableiten lassen, sondern dass diejenigen Eigenschaften, durch welche sich der Raum von anderen denkbaren dreifach ausgedehnten Größen unterscheidet, nur aus der Erfahrung entnommen werden können".
26. Samme kilde, s. 286.
27. Dette spørgsmål blev allerede forklaret af Leibniz og Jean Bernoulli i 1690'erne. Da Christiaan Huyghens i 1677 hørte, at hans tidligere elev, Ole Rømer, året inden havde målt "lysets hastighed" til ca. 3 x 10'8 m/s, forstod Huyghens umiddelbart betydningen af en konstant værdi for lysets udbredelse for tilbagekastning og brydning. Se Poul Rasmussen, "Ole Rømer and the Discovery of the Speed of Light", 21st Century Science & Tehnology, Spring 1993. Se også Christiaan Huyghens, Treatise on Light (1690) (New York: Dover Publications, Inc., 1962). Leibniz' angreb på Newtons inkompetente algebraiske fysik og hans forståelse for nødvendigheden af en "ikke-algebraisk" (dvs. transcendent) metode, var i høj grad affødt af påvisningen af principperne for tilbagekastning og brydning af lys. Principper, der var i overensstemmelse med en konstant værdi for lysets forsinkede udbredelse og uafhængig af en naiv, fysisk rumtids mulige forestillinger.
28. Se fodnote 8. "I. Begriff einer nfach ausgedehnten Größe, s. 273-276.
29. "Zur Theorie der biquadratischen Reste", Gauss, Werke, Vol. II, E. Schering, ed., s. 313-385, inkl. fodnoter af Shering.
30. Herbart var en berømt modstander af Immanuel Kants filosofi. Han kom under indflydelse af den store tyske digter Friedrich Schiller, der var historieprofessor på universitet i Jena. Herbart blev senere Wilhelm von Humboldts protégé, og var i lang tid ansat ved Kants tidligere universitet i Königsberg. I midten af 1830'erne blev Herbart inviteret til C.F. Gauss' Göttingen Universitet, hvor han holdt en række berømte forelæsninger. Det var i denne forbindelse, at Riemann først mødte ham. Riemanns kritiske henvisninger til nogle af Herbarts argumenter indeholder det her omtalte materiale i hans Hypotesen. Se "I. Zur Psychologie unter Metaphysik", Werke, s. 509-520.
31. "Maßverhaltnisse, deren ...", s. 276
32. "Es wird daher, um festen Boden zu gewinnen, zwar eine abstracte Untersuchung in Formeln nicht zu vermeiden sein, die Resultate derselben aber werden sich in geometrischen Gewande darstellen lassen ... [S]ind die Grundlagen enthalten in der berühmten Abhandlung des Herrn Geheimen Hofraths Gauss über die krummen Flächen." s. 276. Riemann henviser til en af C.F. Gauss' mest berømte og indflydelsesrige opdagelser, som problemerne med den specielle relativitetsteori gjorde dobbelt så berømt. Gauss' arbejde om emnet blev oprindeligt udgivet på latin i 1828 med titlen "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas", Werke, vol. IV, s. 217-258. Det er også nyttigt at læse Gauss' "Theorie der krummen Flächen", vol. VIII, s. 363-452.
33. Det var temaet for Newton-tilhængeren Leonhard Eulers famøse angreb i 1761 på Leibniz' Monadologi. Se Lyndon LaRouche Jr., "Appendix XI: Euler's Fallacies on the Subjects of Infinite Divisibility and Leibniz's Monads", The Science of Christian Economy (Washington D.C., Schiller Institute, 1991), s 407-425.
34. Riemann blev født 17. september 1826 (Werke, s. 541); præsentationen af hans habilitationsforedrag fandt sted 10. juni 1854 (Werke, s. 272).
35. Hvis dette faktum ikke bliver gjort klart for studerende og andre "forbrugere" af økonomers arbejdsprodukter, vil resultatet blive den slags overtro, som allerede nu er typisk for de fleste nobelpristagere i økonomi og deres godtroende tilhængere. Det vi ved, er det, vi kan gøre rede for på samme måde, som vi selv kom til at vide det.
36. Se fodnote 4.
37. Georg Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (Leipzig, 1883). Oprindelig udgivet som femte del af Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, Werke, s. 165-209.
38. Se fodnote 4.
39. F.eks. Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten, Werke, s. 378-440.
40. Werke, s. 509-520. Min kollega Dr. Jonathan Tennenbaum har gjort opmærksom på C.F. Gauss' sønderlemmende latterliggørelse af Kants arbejde. I Mitteilungen giver Cantor udtryk for en lignende foragt for Kant.
41. Her bruges "type" i Cantors forstand.
42. I denne sammenhæng er det ikke nødvendigt at gennemgå emnet det Gode. Se i stedet Lyndon H. LaRouche Jr. "The Truth About Temporal Eternity", Fidelio, Summer 1994, forskellige steder.
43. Kritik af den Rene Fornuft (1781), Prolegomena til enhver fremtidig metafysik, der skal kunne fremtræde som videnskab (1783), Kritik af den Praktiske Fornuft (1788), og Kritik af Dømmekraften (1790).
44. Se Lyndon H. LaRouche Jr., "Mozart's 1782-1786 Revolution in Music", Fidelio, Winter 1992, og Bruce Director, "What Mathematics Can Learn From Classical Music", Fidelio, Winter 1994. De sene strygekvartetter af Beethoven, som der refereres til, er: Es-dur, opus 127; B-dur ("Große Fuge"-kvartetten), opus 130; A-mol, opus 132; B-dur ("Große Fuge"), opus 133; og F-dur, opus 135.
45. Felix Klein, Famous Problems of Elementary Geometry (1895), W. W. Beman and D.E. trans, R.C. Archibald ed. (New York: Chelsea Publishing Co., 1980), side 49-80. Klein er sandsynligvis klar over, at det første bevis for at pi er transcendent, blev givet fra et geometrisk standpunkt af Nicolaus Cusanus; han er uden tvivl klar over, at pi's transcendente karakter var endegyldigt fastlagt af Leibniz og andre i løbet af 1690'erne. Alligevel insisterer han på, at pi's transcendente natur først blev bevist af F. Lindemann i 1882! Grunden til Kleins lille svindelnummer er, at han forsvarer Eulers angreb på Leibniz i spørgsmålet om "uendelige rækker". Selv om det indebar et forfærdeligt bedrag overfor videnskabens historie, lod Klein sig drive af sin trofasthed overfor et Euler-baseret algebraisk "bevis" (og intet andet!).
46. Se f.eks. The Political Economy of the American Revolution, Nancy Spannaus and Christopher White, eds. (New York: Campaigner Publications, 1977).
47. I den amerikanske føderale forfatningstradition ligger den lokale myndighed hovedsageligt hos delstaten, undtagen når nationale interesser nødvendiggør, at ansvaret ligger hos de føderale myndigheder.
48. Heri indgår den offentlige vandforsyning, inklusive de vigtigste havne og indenlandske vandveje, afvandingsområder, og den relevante sanitet. Offentlige transportmidler bør også være enten myndighedernes økonomiske ansvar eller private investeringer under myndighedernes oversyn. Tilvejebringelsen og reguleringen af den nødvendige elforsyning i hele landet, og distributionen heraf til de forskellige regioner og lokalområder er en af myndighedernes vigtigste pligter. Grundlæggende infrastruktur i byerne er også et offentligt ansvar, hovedsageligt de lokale myndigheders, men underlagt de føderale og delstatslige myndigheders retningslinier.
Den følgende tekst blev skrevet af Tom Gillesberg som supplement til LaRouches artikel "En ikke-newtonsk matematik for økonomer", der blev bragt i Schiller Instituttets Temahæfte nr. 2, november 1995.
Cantors transfinitte tal
Georg Cantor opdagede muligheden af at skabe uendelige tal. Det var dog en forudsætning, at det diffuse begreb "uendeligt" først blev tilstrækkeligt klarlagt. Ifølge Cantor anvendes begrebet "uendeligt" i tre vidt forskellige sammenhænge indenfor matematik og filosofi:
1. Det egentligt-ikke-uendelige eller potentielt-uendelige. Når udtrykket "uendeligt" bruges om noget, der egentlig er endeligt, men står uklart for tanken, fordi det er meget stort eller "uendeligt" småt. F.eks. i udtrykket: "Der er uendeligt mange sandkorn på stranden". Her bruges "uendeligt" i betydningen: Et antal så stort, at det ikke er til at overskue. Men antallet af sandkorn er faktisk endeligt, selv om det er stort.
2. Det egentligt-uendelige, faktisk-uendelige eller transfinitte. Noget som er bestemt, fatteligt, men ikke tælleligt med noget endeligt. Overskrider det endelige. Det er her, vi finder De transfinitte Tal.
3. Det absolut uendelige – Gud. Vi kan erkende eksistensen af det absolut uendelige (Gud), men vi kan ikke erkende selve det absolutte (Gud). Det absolutte kan ikke tælles eller nås med noget endeligt eller transfinit.
De naturlige tal 1,2,3,4... etc. skabes ud fra grundsætningerne: Der er et første tal "ét" og skabelsesprincippet "læg én til". Ud fra disse aksiomer kan vi skabe en uendelig række af tal: 1,2,3,4, ...,v, ... Selv om denne række er uendelig (der er ikke noget højeste tal) er den ikke ufattelig. Vi kan begribe den som én mængde eller én idé, og den idé kan vi give et navn Omega (w). w er altså 1,2,3,4, ...,v, ... taget som én idé. w er det første tal efter den uendelige række af de naturlige tal, og dermed det første overendelige tal; det første transfinitte tal (der overskrider de finitte, de endelige tal). w kan anvendes som andre tal. Vi kan lægge 1 til w og få w+1. Vi kan tage ω tusind gange og få 1000w. Vi kan skabe uendeligt mange uendeligheder af nye tal. Men disse nye transfinitte tal følger dog ikke de samme regneregler, som de finitte (endelige) tal. F. eks. gælder 1+2 = 2+1, men w+1 ≠ 1+w. 1 x 2 = 2 x 1, men w x 2 ≠ 2 x w. Vi kalder derfor de nye transfinitte tal, vi her har skabt, transfinitte ordenstal eller ordinaltal, da ordenen, rækkefølgen, ikke er ligegyldig.
Abstraherer vi derefter fra selve ordensprincippet, får vi et helt nyt begreb: Mægtighed eller Kardinaltal. Mange forskellige transfinitte ordinaltal har samme kardinaltal. w, w+1, 2w, ww har f.eks. alle samme kardinaltal: Alef-nul (0א). Men der findes også mængder/ideer med et højere kardinaltal end 0א. Den samlede mængde af transfinitte ordinaltal, der hver for sig har kardinaltal 0א, har – når hele mængden tages som én idé – mægtigheden eller kardinaltallet 1א. Den samlede mængde af alle de mængder, der hver for sig har kardinaltallet 1א,må således – når hele mængden tages som én idé – have kardinaltallet 2א. Der er altså en hel א-serie; en uendelig række af transfinitte kardinaltal א , ... ,3א ,2א ,1א ,0אv, ...
Mængder, eller tal med forskelligt kardinaltal, er på forskellige mægtighedsniveauer. I א-serien: א , ... ,3א ,2א ,1א ,0אv, ... repræsenterer hvert enkelt kardinaltal et unikt mægtighedsniveau. Til hvert enkelt kardinaltal hører en hel klasse af ideer, som alle er bestemt af samme sæt af aksiomer, de samme indbyggede skabelses-principper. Vil man gå fra ét mægtighedsniveau til det næste, f.eks. fra 0א til 1א, må man introducere et nyt skabelsesprincip, der ikke var indeholdt i 0א's aksiomsæt. Dette ikke-lineære gennembrud, der kun kan finde sted udenfor 0א's aksiomsæt, lægger grunden til en helt ny klasse af ideer på et højere mægtighedsniveau, 1א. Vil man fra 1א til 2א, behøver man igen et helt nyt skabelsesprincip, som ikke var indeholdt i 1א. Og dette nye gennembrud grundlægger og opbygger altså et helt nyt mægtighedsniveau. Befinder man sig på et højere mægtighedsniveau, kan man gå tilbage til et lavere ved at fjerne sin særegenhed (f.eks. (ω+1)-ω=1). Derimod er der ingen måde, hvorpå man – uden spring – kan bevæge sig gennem Alef-serien א , ... ,3א ,2א ,1א ,0אv, ... nedefra og op.
Læs også Cantors tre skrifter: "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre", "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" og "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre".